Caratterizzazione statica dei vincoli: caso piano

Ciao ragazzi. Spero che fino ad ora non vi abbia eccessivamente annoiati, nonostante questo genere di tema (i vincoli) non sia esattamente il più bello da trattare in fisica. Tuttavia bisogna sapere che esistono e come funzionano, e a tal proposito oggi vi parlerò della caratterizzazione statica dei vincoli. Quello che andremo a vedere sarà il caso piano.

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I vincoli non agiscono solo come limitazione cinematica ma anche come agenti statici. Questo significa che sono capaci di esercitare forze sul corpo.

Immaginiamo di avere un corpo isostatico. Adesso esercitiamo su di esso delle forze arbitrarie. Dato che il corpo non si muove, ossia resta nel suo stato di quiete, l’insieme delle forze è equilibrato: le azioni esercitate dai vincoli, che prendono il nome di reazioni vincolari controbilanciano esattamente le forze applicate.

L’insieme dei vincoli esterni viene comunemente chiamato telaio, ed è un elemento esterno rigido e di resistenza infinita, capace di esercitare forze uguali e contrarie a quelle esercitate dal corpo sui vincoli. Il sistema di forze esterne ed il sistema di azioni sul telaio sono staticamente equivalenti. Pertanto i vincoli possono essere interpretati come dei mezzi di comunicazione attraverso i quali le forze applicate al corpo si trasmettono al telaio.

Quando ci troviamo davanti ad un problema di statica, dobbiamo quindi determinare, date le forze agenti sul corpo, le reazioni vincolari.

Il procedimento di soluzione consiste in tre passi fondamentali: il primo step da compiere è sostituire i vincoli con le rispettive reazioni vincolari, fissando arbitrariamente il verso (diagramma del corpo libero); successivamente dobbiamo imporre delle condizioni di equilibrio (equazioni cardinali); infine è sufficiente determinare la soluzione del sistema di equazioni.

Nel caso piano le equazioni di equilibrio, per ogni corpo, saranno le seguenti:

  • Rx = 0 (equilibrio alla traslazione lungo x);
  • Ry = 0 (equilibrio alla traslazione lungo y);
  • Mz = 0 (equilibrio alla rotazione attorno a z).

Da qui possiamo notare che, poiché la risultante delle forze è nulla, il momento risultante risulta indipendente dal polo.

In foto vediamo un esempio di passaggio dalla rappresentazione dei vincoli alle rispettive reazioni vincoli.

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Se volete, posso realizzare qualche esercizio per rendere più chiaro il concetto. Sarà sufficiente chiedermelo tramite la voce Contatti. Se siete interessati inoltre a scrivere assieme a me o volete proporre qualche argomento da trattare, date uno sguardo alla pagina Richieste disponibile nella home del blog.

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Vincoli

Come annunciato nell’ultimo articolo, si cambia materia (in realtà, è vero solo in parte, in quanto la fisica, in fondo, non è altro che una applicazione della matematica).

Oggi vorrei parlarvi di quelli che sono i vincoli.


Ogni giorno ci troviamo davanti a situazioni in cui i corpi non sono completamente liberi di muoversi nello spazio ma risultano in qualche modo “vincolati”. Ad esempio, noi poggiamo un bicchiere sul tavolo perché quest’ultimo è un vincolo rispetto al bicchiere in quanto gli impedisce di avere un movimento verticale; oppure, spesso sui versanti possiamo vedere delle reti che vincolano il moto dei detriti affinché non vadano su una strada.

Per dare un significato al concetto di vincolo è opportuno definire cosa è un grado di libertà. Prendiamo un punto materiale P nello spazio: di questo sappiamo che la sua posizione è definita da 3 grandezze scalari le quali rappresentano le sue coordinate. Questo punto nello spazio ha 3 gradi di libertà in quanto la sua posizione è definita da tre coordinate indipendenti in qualsiasi sistema di riferimento.

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Se il punto materiale è su una superficie, i gradi di libertà sono 2. Quindi la condizione di appartenenza alla superficie va interpretata come una costrizione dei gradi di libertà del punto ed è esprimibile analiticamente da un’equazione che lega le coordinate del punto.

ax + by + cz + d = 0


Se il punto, invece, è contenuto in una retta, la condizione di appartenenza sarà data da un sistema.

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I vincoli sono condizioni (spesso esprimibili con equazioni) che limitano i gradi di libertà dei punti.

Se, al posto di un punto, consideriamo un sistema di n punti materiali, i gradi di libertà sono 3n. Se però si tratta di un sistema rigido si ha una notevole riduzione dei gradi di libertà a causa delle relazioni esistenti tra i vari punti, la cui distanza relativa è costante. Per una valutazione dei gradi di libertà è opportuno considerare il sistema nella sua globalità.


Consideriamo prima il problema nel piano. Per individuare la posizione del corpo rigido nel piano, basta scegliere due punti distinti A e B.

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Poiché sappiamo le loro coordinate, possiamo determinare le coordinate di qualsiasi altro punto del corpo. Fissando le coordinate di A, costringiamo il punto B a muoversi su una circonferenza attorno ad A. Fissando inoltre la posizione angolare di B, definiamo completamente la posizione del corpo. Perciò diciamo che il corpo rigido nel piano ha 3 gradi di libertà. Ripetendo lo stesso ragionamento nello spazio dobbiamo considerare almeno 3 punti (A,B,C) non allineati per avere un totale di 6 gradi di libertà. In questo, dopo aver fissato il punto A, B potrà muoversi su una sfera di raggio AB e centro A. Se fissiamo le sue coordinate sferiche, il punto C si può muovere su una circonferenza attorno ad una retta passante per A e B. Se fissiamo la sua coordinata angolare, abbiamo la posizione del corpo. Se il corpo non è completamente vincolato, lo definiamo labile. Se i vincoli sono necessari e sufficienti a fissare i gradi di libertà, allora definiremo il corpo isostatico. Se invece ne abbiamo troppi, il corpo lo definiamo iperstatico.


Sembra difficile, ma come le immagini dimostrano, è più semplice del previsto capire di cosa si tratti. Partendo da queste nozioni, possiamo affrontare casi più particolari come la caratterizzazione statica dei vincoli che sarà il topic del prossimo articolo. Spero di non avervi annoiato con queste parole che hanno come scopo dare delle definizioni e dei nomi a ciò che vedremo più in là. Per qualsiasi cosa, che sia un dubbio o una correzione, trovate il form nella pagina Contatti. Colgo l’occasione anche per rinnovarvi l’invito a proporre nuovi argomenti da trattare, come già ho accennato nella pagina Richieste presente nella Home del blog.

Disequazioni di secondo grado

Come esistono equazioni di secondo grado, esistono ovviamente anche le disequazioni. Prima di partire in quarta con l’articolo, voglio annunciarvi che oggi non torturerò la vostra vista con le orribili foto di svolgimenti miei: non essendo a casa non sono munita di carta e penna per cui mi ingegnerò per scrivere in digitale le varie fasi di calcolo. Dovrei applicarmi nell’apprendimento di un software predisposto alle scritture matematiche, ma sono troppo pigra per farlo e, soprattutto, siccome vorrei laurearmi il prima possibile, sto dedicando molto tempo allo studio accademico, per cui non ho la testa per imparare altro. Non ora, almeno.

Comunque, dopo questa breve digressione personale, possiamo iniziare!


Una disequazione di secondo grado si presenta così nella sua forma normale:

ax2 + bx + c > 0

dove a, b e c sono numeri reali e al posto del segno “>”, può esserci “<” oppure “” o “ ”. Ovviamente a deve essere diverso da 0 altrimenti perdiamo il termine che da il grado secondo alla nostra disequazione.
Per risolverla, la prima cosa da fare è cercare le radici dell’equazione associata, ossia di:

ax2 + bx + c = 0

Come abbiamo visto nello studio delle equazioni di secondo grado, abbiamo tre casi:

  • ∆ > 0 => si hanno due soluzioni reali e distinte x1 e x2;
  • ∆ = 0 => si hanno due soluzioni reali e coincidenti x1=x2;
  • ∆ < 0 => non si hanno soluzioni reali, l’equazione è impossibile.

Come dobbiamo comportarci in presenza di una disequazione però? Per le soluzioni di una disequazione di secondo grado il ∆ è discriminante perché:

  • ∆ > 0 => il trinomio assume il segno del primo coefficiente (cioè di a) all’esterno dell’intervallo delle due soluzioni. Per x1 e x2 il trinomio è uguale a zero.
  • ∆ = 0 => il trinomio assume il segno del primo coefficiente per ogni x diverso dalla soluzione x1 dell’equazione. Per x1 il trinomio è nullo.
  • ∆ < 0 => Il trinomio assume il segno del primo coefficiente per ogni x e non è mai nullo.

Ora vi faccio vedere un esercizio svolto, per farvi capire in linea di massima come si applicano tutte le belle parole qui sopra! Questa volta l’esercizio non è mio, ma l’ho preso da qui.

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Nella pagina indicata troverete altri esempi, ma comunque sarà sufficiente googlare l’argomento per trovarne tanti altri. Se avete dubbi o perplessità, non esitate a contattarmi. La pagina Contatti è sempre in funzione come lo sono anche i social network!

Disequazioni di primo grado

Le equazioni, come abbiamo visto, hanno come scopo cercare quali valori di x permettono di ottenere una identità. Ma cosa succede se, invece di cercare valori, cerchiamo degli intervalli? Semplice: quella che abbiamo avanti è una disequazione.

Una disequazione si dice di primo grado quando le variabili presenti compaiono con esponente pari ad 1.

Le più trattate dai libri di matematica ai giorni nostri sono quelle che presentano una variabile sola, tuttavia in seguito a recenti approfondimenti sull’argomento, ho allargato i miei orizzonti e ho accolto all’interno degli stessi anche quelle che prevedono due o più variabili. Di queste non parlerò molto perché ai fini dell’algebra comune quello che importa è saper definire gli intervalli che soddisfano le disequazioni con una variabile soltanto.


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La foto mostra, oltre la mia pessima grafia, lo svolgimento di una disequazione di primo grado con una incognita. L’unica variabile presente è x. La struttura è la stessa di una equazione, solo che invece di presentare tra i due membri un uguale, ha nel nostro caso un maggiore o uguale. Quel simbolo significa che la traccia prevede che il polinomio al primo membro sia maggiore o uguale di quello presente nel secondo membro.

Ma cosa ho fatto per risolverla? Solita storia: ho isolato la x nel primo membro, mentre nel secondo ho messo tutte le costanti. Ho sommato algebricamente e mi sono resa conto che il coefficiente di x era negativo. Come per le equazioni, per portare in forma normale la disequazione, ho moltiplicato entrambi i membri per -1 e, magia! Si è girato il simbolo tra i due membri. Ebbene, sì: quando cambiate il segno ad una disequazione, cambia anche l’orientazione del simbolino al centro, per cui maggiore diventa minore e viceversa.

Stavolta mi sono sprecata con i colori, ho persino usato un evidenziatore verde per farvi vedere dove avviene questo cambio. Infine, diviso tutto per 2, ho ottenuto l’intervallo che soddisfa la mia disequazione. La notazione prevede una parentesi quadra per includere l’estremo dell’intervallo. Dal lato del meno infinito la parentesi è tonda perché, quando un intervallo presenta un infinito ad uno dei due estremi, per notazione scientifica si usa una parentesi tonda che sta ad indicare l’apertura dell’intervallo.


Come anticipato, vi do qualche informazione sulle disequazioni di primo grado con due incognite. Essendo di primo grado, le nostre incognite avranno esponente pari a 1.

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Ora, x – y – 1 = 0 è l’equazione di una retta. La nostra disequazione presenta anche un uguale pertanto tutti i punti appartenenti a quella retta sono parte dell’intervallo che soddisfa la nostra disequazione. Adesso dobbiamo capire quali altri valori rientrano tra quelli che cerchiamo.

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Per capire quale altra parte del piano soddisfa la nostra legge, è sufficiente guardare il simbolo tra i due membri.

x – y – 1 ≥ 0
x -1 ≥ y

Questo significa che la parte di piano che dobbiamo considerare come soluzione è quella sotto la retta perché è proprio la disequazione a dirci con il suo minore uguale dove prendere le y. Se ci avesse detto di cercare le y maggiori saremmo andati invece a sinistra del piano.

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Ora vi lascio con due paroline sulle disequazioni di primo grado con più incognite. Se avessimo tre incognite, ad esempio, possiamo pensare di risolverla come le disequazioni a due incognite. L’unica differenza sta nelle dimensioni dello spazio considerato. Con tre variabili, ci aspettiamo di trovarci in uno spazio con tre dimensioni, per cui la nostra disequazione diventerebbe un piano che divide lo spazio in due semispazi. Analogamente allo svolgimento precedente, uno in uno dei due semispazi la nostra disequazione è positiva e nell’altro negativa. Gli zeri della funzione giacciono sul piano che divide lo spazio.


Non so quanto sia stata esaustiva, ho la sensazione di essere stata poco chiara. Comunque, per eventuali domande c’è il solito form nella pagina contatti oppure potete cercarmi su uno dei social network presenti in home. Sono una studentessa come probabilmente molti di voi lettori, quindi non esitate a correggermi: farebbe bene a tutti quanti.